Анатолий Богданович родился через 5 дней после начала Великой Отечественной войны - 27 июня 1941 года, в семье потомственных казаков. Отец поэта - Александр Иванович Богданович - весной 1941 года был призван в кавалерию командиром эскадрона. Погиб в 1942 году под Тулой, так и не увидев сына.
В числе первых публикаций поэта Анатолия Богдановича было стихотворение «Кубанка» - в память о погибшем отце.